中考数学动态几何专题复习 图形的运动变化问题。 ?【典型例题】 例1. 已知；⊙O的半径为2,∠AOB＝60°，M为的中点，MC⊥AO于C,MD⊥OB于D，求CD的长。 分析：连接OM交CD于E， ∵∠AOB＝60°，且M为中点 ∴∠AOM＝30°，又∵OM＝OA＝2 ∴ ∴ 例2. 如图，AB是 ⊙O的直径，⊙O过AE的中点D，DC⊥BC，垂足为C。 （1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） （2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）） 分析：（1）AB＝BE DC＝CE ∠A＝∠E DC为⊙O切线 （2）若∠ABC为直角 则∠A＝∠E＝45°，DC＝BC DC∥AB，DC＝CE，BE为⊙O的切线 例3. 在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图的设计方案是AC＝8，BC＝6。 （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ 分析：（1）∵AB为半圆直径 ∴∠ACB＝90° ∵AC＝8，BC＝6 ∴AB＝10 ∴△ABC中AB边上高h＝4.8m （2）设DN＝x，CM＝h＝4.8 则MP＝x 当时，水池面积最大。 例4. 正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交MN于E，则BE＝______cm。 分析：△BPQ≌△BCQ BP＝BC＝6 连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点） ∴△BPC为等边三角形 ∴∠PBC＝60°， 又∵ ∴在Rt△BEN中，BN＝3 ∴ 例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 。 分析：A（0，1），B（3，3），则OA＝1 过B作BM⊥x轴于M 则BM＝3，OM＝3 又∵AC与CB为入射光线与反射光线 ∴∠AOC＝∠BCM ∴△AOC∽△BMC ∴ ∴ ∴ ∴ 同理：BC ∴ 例6. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。 分析：（1）AD⊥MN BE⊥MN ∴∠ADC＝∠CEB＝90° ∴∠DAC＋∠DCA＝90° 又∵∠ACB＝90° ∴∠DCA＋∠ECB＝90° ∴∠DAC＝∠ECB ∵AC＝BC ∴△ADC≌△CEB ∴DC＝BE AD＝CE ∴DE＝DC＋CE ＝BE＋AD （2）与（1）同理 △ADC≌△CEB ∴CD＝BE AD＝CE ∵DE＝CE－CD ＝AD－BE （3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时 与（1）（2）同理可知 CE＝AD，BE＝CD ∵DE＝CD－CE ＝BE－AD 例7. 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。 （1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论； （2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由。 分析：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变. 证明：连结CG ∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点 ∴CG＝BG,CG⊥AB ∴∠ACG＝∠B＝45° ∵∠BGH与∠CGK均为旋转角， ∴∠BGH＝∠CGK ∴△BGH≌△CGK ∴BH＝CK,S△BGH＝S△CGK ∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK ＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC ＝××4×4＝4 即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化 （2）∵AC＝BC＝4，BH＝， ∴CH＝4－，CK＝x 由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK， 得＝ ∴ ∵0°＜α＜90°， ∴0＜＜4 （3）存在。 根据题意，得 解这个方程，得 即：当或时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的。 例8. 经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A上和C、D四点（在图⑤、⑥中，有重合的点），得到了如图①～⑥所表示的六种不同情况。 （1）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明； （2）已知⊙O的半径为一定值，若点 P是不在⊙O上的一个定点，请你过点 P任作一直线交⊙O于不重合的两点C、D，PCPD的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。 分析：（1）PAPB＝PCPD 证明：连接AC、BD 则△ACP∽△DBP ∴ ∴APBP＝CPDP （2）PCPD的值为定值 （当P在圆外时） 借助图⑤，过P作⊙O切线PA 则 （连接PO交⊙O于E,并延长交⊙O于F时） 又有 ∴ （当P在圆内时）借助图②， 连接OP并延长分别交⊙O于E，F时 例9. 如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点 Q在半圆O上运动，且总保持 PQ＝PO，过点 Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。 （1）当∠QPA＝60°时，请你对ΔQCP的形状做出猜想，并给予证明。 （2）当QP⊥AB时，那么ΔQCP的形状是________三角形。 （3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，ΔQCP一定是____三角形。 分析：（1）△QCP是等边三角形 证明：连接OQ，则∵CQ为⊙O切线 ∴CQ⊥OQ，∴∠CQO＝90° ∵PQ＝PO，∠QPC＝60° ∴∠POQ＝∠PQO＝30° ∴∠C＝90°－30°＝60° ∴∠CQP＝∠C＝∠QPC＝60° ∴△QPC是等边三角形 （2）等腰直角三角形 （3）等腰三角形 例10. 如图甲、乙、丙，在图甲中，以 O为圆心，半径分别为R，r（R＞r）的两个同心圆中，A、D为大⊙O上的任意两点，小圆O的割线 ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明：ABAC＝DEDF 证明：因为小⊙O的割线ABC与DEF都经过圆心O，所以 AB＝R－r，AC＝R＋r，DF＝R－r，DE＝R＋r，所以AB＝DE，AC＝DF，故ABAC＝DEDF。 阅读上述证明后，完成下列两题： （1）将图甲变换成图乙（ABC不经过圆心O，DEF经过圆心O）．求证：ABAC＝DEDF （2）将图乙变换成图丙（ABC与DEF都不经过圆心O），请对图丙中有关线段之间存在的关系，做出合理猜想，并给予证明。 分析：（1）连接AO并延长与小⊙O交于B'、C'两点 可证得：而 ∴ （2）猜想ABAC＝DEDF，连接DO交小⊙O于E'、F' 由（1）得ABAC＝DE'DF'，而DE'DF'＝DEDF 故猜想成立。 【模拟试题】 一、填空题： 1. 方程的根是 。 2. 已知a，b是方程的两根，则代数式的值是________。 3. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二次函数的解析式： 。 4. 抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________。 5. 已知，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径＝ 。 6. 如图，直线TB与△ABC的外接圆相切于点B，AD∥BC,∠BAD＝70°,∠ACB＝40°，则∠TBC＝ 。 7. 如图，AB为半圆O的直径，C、D是上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为 。 8. 已知r1、r2分别是⊙O1、⊙O2的半径,两圆有且只有一条公切线,O1O2 ＝ 3, r1 ＝ 5, 则r2 ＝ 。 9. 一圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r为 cm。 10. 某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示： 分数段 18分以下 18―20分 21―23分 24―26分 27―29分 30分 人数 2 3 12 20 18 10 那么该班共有 人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是 . 二、选择题： 11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≤1 B. k≥1 C. k＜1 D. k＞1 12. 使关于x的分式方程产生增根的a的值是 （ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a无关 13. 为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x

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