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  中考数学专题3 动态几何问题

第一部分 真题精讲
【例1】如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高为 ．动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 （秒）．
 
（1）当 时，求 的值；
（2）试探究： 为何值时， 为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】
解：（1）由题意知，当 、 运动到 秒时，如图①，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形．
 
∵ ， ．
∴ ．    （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）
∴ ．         （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）
∴  ．解得 ． 
【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论：
① 当 时，如图②作 交 于 ，则有 即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
∵ ，
② 当 时，如图③，过 作 于H．
则 ，

③ 当 时，
则 ．
 ．     
综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形．

【例2】在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ ， ，CD= ，求线段CP的长．（用含 的式子表示）
             
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
【解析】：
（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；
证明如下： AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．
由正方形ADEF得  AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， 
∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC  ， ∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD．
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．
  理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．   即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴  DQ=4-x，
易证△AQD∽△DCP，∴  ，  ∴ ，
 ．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴  DQ=4+x．
过A作 交CB延长线于点G，则 ．  CF⊥BD，
 △AQD∽△DCP，∴  ，  ∴ ，

【例3】已知如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角形．
（1）求证：梯形 是等腰梯形；
（2）动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变．设 求 与 的函数关系式；
（3）在（2）中，当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由．

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.
【解析】
（1）证明：∵ 是等边三角形
∴
∵ 是 中点
∴ 
（2）解：在等边 中， 
 
∴   (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)
∵  ∴
∴   ∴  (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。
（3）解：  为直角三角形

∵
∴当 取最小值时，
∴ 是 的中点， 而 
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形 中， 为对角线 上一点，过 点作 交 于 ，连接 ， 为 中点，连接 ．
（1）直接写出线段 与 的数量关系；
（2）将图1中 绕 点逆时针旋转 ，如图2所示，取 中点 ，连接 ，．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．  
（3）将图1中 绕 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。
（1） 
（2）（1）中结论没有发生变化，即 ．
证明：连接 ，过 点作 于 ，与 的延长线交于 点．
在 与 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 与 中，
∵ ，
∴ ．
∴  
    在矩形 中， 
在 与 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 
 
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）（1）中的结论仍然成立． 

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．
（1）当 =1 时，CF=______cm，
（2）当 =2 时，求sin∠DAB′ 的值；
（3）当 = x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】
（1）CF=  6   cm； （延长之后一眼看出，EAZY）
（2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，
∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴  ．
∵  =2， ∴ CF=3．
∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．
又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF．
设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= ．  ∴ DM= ．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）
∴ sin∠DAB′= ； 
②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N，
同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′ N=12-m．
在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得
m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= ． ∴ B′ N= ．
 ∴ sin∠DAB′= ．  
（3）①当点E在BC上时，y= ； 
   （所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）
②当点E在BC延长线上时，y= ．  

【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：
第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。
第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。
第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分 发散思考

【思考1】已知：如图（1），射线 射线 ， 是它们的公垂线，点 、 分别在 、 上运动（点 与点 不重合、点 与点 不重合）， 是 边上的动点（点 与 、 不重合），在运动过程中始终保持 ，且 ．
（1）求证： ∽ ；
（2）如图（2），当点 为 边的中点时，求证： ；
（3）设 ，请探究： 的周长是否与 值有关？若有关，请用含有 的代数式表示 的周长；若无关，请说明理由．
                                    
【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
 
【思考2】 △ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若 ＜∠PBC＜180°，
且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD=       °；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
     

【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~

【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB= ．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】在 中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转 得到线段EF(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1¬¬绕点E逆时针旋转  得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转 得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD=6,tanB= ,AE=1,在①的条件下，设CP1= ，S = ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分 思考题解析
【思考1解析】
（1）证明：∵  ，∴  ．∴  ．
    又∵  ，∴  ．
    ∴  ．∴  ∽ ．  
   （2）证明：如图，过点 作  ，交 于点 ，
    ∵  是 的中点，容易证明 ．
    在 中，∵  ，∴  ．
    ∴   ．
    ∴  ．                       
  （3）解： 的周长  ， ．
       设 ，则 ．
    ∵  ，∴  ．即 ．
    ∴  ．
    由（1）知 ∽ ，
    ∴     ．
    ∴  的周长  的周长 ．
    ∴  的周长与 值无关．         

【思考2答案】
解：（1）∠BPD= 30  °；
（2）如图8，连结CD．
     解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上，
                  ∴ ∠1=∠2．
                  ∵ △ABC是等边三角形，
                  ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．
                  ∵ BP=BA，
                  ∴ BP=BC．
                  ∵ BD= BD，
                  ∴ △PBD≌△CBD．
                  ∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
                  ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，
                  ∴ △BCD≌△ACD．
                  ∴  ．
                  ∴ ∠BPD =30°．
            解二：∵ △ABC是等边三角形，
                  ∴ BA =BC=AC．
                  ∵ DB=DA，
                  ∴ CD垂直平分AB．
                  ∴  ．
                  ∵ BP=BA，
                  ∴ BP=BC．
                  ∵ 点D在∠PBC的平分线上，
                  ∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称．
                  ∴ ∠BPD=∠3．
                  ∴ ∠BPD =30°．
       （3）∠BPD= 30°或 150°  ．
            图形见图9、图10． 
【思考3解析】
解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB= 得BE=3．
        ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，
∴AD=EC=BC－BE=3．
        当BO=AD=3时，   在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP
        ∵ ,∴BH= ．
        ∴BP= ．
（2）不存在BP=MN的情况-
假设BP=MN成立，
∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.
     过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC-
     设BO=x，则PO=x,由 ，得BH= ,
∴BP=2BH= .
∴BQ=BP×cosB= ，PQ= ．
∴OQ= ．
∵△PQO∽△DOC，∴ 即 ，得 ．
当 时，BP= = ＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况.
 
（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分
     情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤ .-------8分

【思考4解析】

解：（1）①直线 与直线 的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线 与直线 的交点为 ．
∵线段 分别绕点 逆时针旋转90°依次得到线段 ，
②按题目要求所画图形见图1，直线 与直线 的位置关系为互相垂直．
（2）∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
可得 ．
由（1）可得四边形 为正方形．
∴ ．
①如图2，当 点在线段 的延长线上时，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
②如图3，当 点在线段 上（不与 两点重合）时，
∵ ，
∴ ．
③当 点与 点重合时，即 时， 不存在．
综上所述， 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围是 或 ．